Zadanie 21 — suma krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

Jaka jest suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, gdy znasz pole ściany bocznej i jej wysokość.

Zadanie

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym wysokość ściany bocznej poprowadzona do krawędzi podstawy jest równa $12$ cm (zobacz rysunek). Pole powierzchni jednej ściany bocznej tego ostrosłupa jest równe $108 \text{ cm}^2$ .

Rys. Ostrosłup prawidłowy czworokątny. W prawej ścianie bocznej zaznaczono wysokość tej ściany, poprowadzoną do krawędzi podstawy pod kątem prostym, o długości 12 cm.

Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Jak to ugryźć

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat i $8$ krawędzi: $4$ krawędzie podstawy i $4$ krawędzie boczne. Ściana boczna to trójkąt równoramienny: z jego pola i wysokości obliczysz podstawę, czyli krawędź podstawy $a$ . Wysokość ściany dzieli ją na dwa trójkąty prostokątne — z twierdzenia Pitagorasa dostaniesz krawędź boczną $c$ .

Krok po kroku

Rys. Ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej SBC ma 12 cm i trafia w środek krawędzi BC.

Krawędź podstawy z pola ściany bocznej: $\frac{1}{2} \cdot a \cdot 12 = 108 \quad \Rightarrow \quad 6a = 108 \quad \Rightarrow \quad a = 18 \text{ cm}$
Krawędź boczna z twierdzenia Pitagorasa — przyprostokątne to wysokość ściany $12$ i połowa krawędzi podstawy $9$ : $c^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \quad \Rightarrow \quad c = 15 \text{ cm}$
Suma krawędzi: $4 \cdot 18 + 4 \cdot 15 = 72 + 60 = 132 \text{ cm}$

Odpowiedź: Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równa $132$ cm.

Jak to zapisać na egzaminie

Oznacz na rysunku $a$ i $c$ i zapisz, z czego liczysz każdą z nich. Za samo obliczenie $a = 18$ jest $1$ punkt, za $a$ i poprawnie ułożone twierdzenie Pitagorasa dla $c$ — $2$ punkty. Jednostki nie są tu oceniane.

Za co są punkty · 3

1Za poprawny sposób obliczenia krawędzi podstawy (108 = ½ · a · 12) albo za poprawne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do krawędzi bocznej.
1Za obliczenie krawędzi podstawy (18 cm) i poprawny sposób obliczenia krawędzi bocznej (12² + 9² = c²).
1Za poprawne obliczenia i wynik 132 cm.

Tu łatwo o błąd

Źle	Dlaczego źle	Dobrze
$a = 108 : 12 = 9$	pominięta jedna druga we wzorze na pole trójkąta	$\frac{1}{2} \cdot a \cdot 12 = 108$ , więc $a = 18$
$c^2 = 12^2 + 18^2$	wysokość ściany dzieli krawędź podstawy na pół	$c^2 = 12^2 + 9^2$
suma $4 \cdot 18 + 15 = 87$	ostrosłup ma cztery krawędzie boczne, nie jedną	$4 \cdot 18 + 4 \cdot 15 = 132$

Dasz radę sam?Oznacz „Umiem”, gdy potrafisz rozwiązać to zadanie samodzielnie.

Oznaczenia są zapisane tylko w tej przeglądarce.

Zaloguj się

Następne zadanie

Sprawdź, czy pamiętasz wzory

Najpierw przypomnij sobie odpowiedź, a dopiero potem odwróć kartę.

No cards available in this deck.

Ćwicz w zestawie

StereometriaOtwarte · 3 pkt

CKE · Arkusz · maj 2025 · zad. 21