Zadanie 21 z 21Arkusz czerwiec 2020
StereometriaOtwarte · 3 pkt
CKE · 2020

Zadanie 21 — objętość ostrosłupa z siatki

Jaka jest objętość ostrosłupa o podstawie kwadratowej, gdy z siatki znasz bok podstawy 5 cm i krawędź 13 cm.

01

Zadanie

Podstawą ostrosłupa o wysokości HH jest kwadrat. Na rysunku przedstawiono siatkę i podano długości niektórych krawędzi tego ostrosłupa.

Rys. Siatka ostrosłupa: kwadrat o boku 5 cm i cztery trójkąty prostokątne. W górnym trójkącie pionowa przyprostokątna to wysokość H, a kąt prosty jest przy wierzchołku kwadratu. Przy prawym trójkącie zaznaczono krawędź 13 cm.

Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

02

Jak to ugryźć

Wysokość HH jest krawędzią ostrosłupa: wierzchołek leży dokładnie nad rogiem kwadratu. Krawędź 1313 cm z prawego trójkąta to ta sama krawędź, która w górnym trójkącie jest przeciwprostokątną. Górny trójkąt jest więc prostokątny z przyprostokątnymi 55 i HH oraz przeciwprostokątną 1313. Z twierdzenia Pitagorasa obliczysz HH, a potem objętość.

03

Krok po kroku

Rys. Górny trójkąt siatki: przyprostokątne 5 cm i H, przeciwprostokątna 13 cm. Ta sama krawędź 13 cm jest bokiem prawego trójkąta.

  1. Z twierdzenia Pitagorasa w górnym trójkącie: H2+52=132H^2 + 5^2 = 13^2 H2=169−25=144⇒H=12 cmH^2 = 169 - 25 = 144 \quad \Rightarrow \quad H = 12 \text{ cm}
  2. Pole podstawy: P=52=25 cm2P = 5^2 = 25 \text{ cm}^2.
  3. Objętość ostrosłupa: V=13⋅P⋅H=13⋅25⋅12=100 cm3V = \frac{1}{3} \cdot P \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot 12 = 100 \text{ cm}^3

Odpowiedź: Objętość ostrosłupa jest równa 100 cm3100 \text{ cm}^3.

04

Jak to zapisać na egzaminie

Zaznacz na rysunku trójkąt prostokątny z bokami 55, HH i 1313 i zapisz twierdzenie Pitagorasa. Potem wzór V=13P⋅HV = \frac{1}{3} P \cdot H z liczbami. Za samo obliczenie H=12H = 12 cm jest 11 punkt. Podaj jednostkę: cm3\text{cm}^3.

05

Za co są punkty · 3

  • 1Za poprawny sposób obliczenia wysokości ostrosłupa (H = 12 cm z twierdzenia Pitagorasa).
  • 1Za poprawny sposób obliczenia objętości ostrosłupa: V = 1/3 · 25 · 12.
  • 1Za poprawne obliczenia i wynik: 100 cm³.
06

Tu łatwo o błąd

ŹleDlaczego źleDobrze
V=25⋅12=300V = 25 \cdot 12 = 300to wzór na graniastosłup — w ostrosłupie jest 13\frac{1}{3}13⋅25⋅12=100\frac{1}{3} \cdot 25 \cdot 12 = 100
H=13−5=8H = 13 - 5 = 8z twierdzenia Pitagorasa odejmujesz kwadraty, a nie długościH2=169−25H^2 = 169 - 25
H2=132+52H^2 = 13^2 + 5^21313 to przeciwprostokątna, a HH przyprostokątnaH2=132−52H^2 = 13^2 - 5^2
Źródło: Arkusz i zasady oceniania — egzamin ósmoklasisty z matematyki, termin główny czerwiec 2020 (CKE).
Następne zadanie

Sprawdź, czy pamiętasz wzory

Najpierw przypomnij sobie odpowiedź, a dopiero potem odwróć kartę.

No cards available in this deck.

Ćwicz w zestawie