Zadanie 18 — wysokość trójkąta z pola czworokąta

Jak obliczyć wysokość trójkąta ABC, gdy znasz pole czworokąta, długość przekątnej i wysokość drugiego trójkąta.

Zadanie

W czworokącie $ABCD$ o polu $48 \text{ cm}^2$ przekątna $AC$ ma długość $8$ cm i dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty: $ABC$ i $ACD$ (zobacz rysunek). Wysokość trójkąta $ACD$ poprowadzona z wierzchołka $D$ do prostej $AC$ jest równa $2$ cm.

Rys. Czworokąt ABCD podzielony przekątną AC na trójkąty ABC i ACD.

Oblicz wysokość trójkąta $ABC$ poprowadzoną z wierzchołka $B$ do prostej $AC$ . Zapisz obliczenia.

Jak to ugryźć

Oba trójkąty mają wspólny bok $AC$ — możesz go traktować jako podstawę każdego z nich. Pole czworokąta to suma pól dwóch trójkątów. Pole trójkąta $ACD$ obliczysz od razu, a pole trójkąta $ABC$ to reszta. Z pola i podstawy wyznaczysz wysokość.

Krok po kroku

Rys. Wysokości obu trójkątów poprowadzone do wspólnej podstawy AC: z wierzchołka D (2 cm) i z wierzchołka B (szukana).

Pole trójkąta $ACD$ : $P_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2 = 8 \text{ cm}^2$
Pole trójkąta $ABC$ : $P_{ABC} = 48 - 8 = 40 \text{ cm}^2$
Wysokość $h$ trójkąta $ABC$ z pola: $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot h = 40 \quad \Rightarrow \quad 4h = 40 \quad \Rightarrow \quad h = 10 \text{ cm}$

Odpowiedź: Wysokość trójkąta $ABC$ poprowadzona z wierzchołka $B$ jest równa $10$ cm.

Krócej. Pole czworokąta to $\frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot (2 + h)$ , więc $48 = 4 \cdot (2 + h)$ , skąd $2 + h = 12$ i $h = 10$ .

Jak to zapisać na egzaminie

Zapisz, że pole czworokąta jest sumą pól trójkątów $ABC$ i $ACD$ , i podstaw dane do wzorów na pola obu trójkątów. Nie mierz odcinków linijką — rysunek nie zachowuje wymiarów, więc wynik trzeba obliczyć. Za samo obliczenie pola trójkąta $ACD$ jest $1$ punkt.

Za co są punkty · 3

1Za poprawny sposób obliczenia pola trójkąta ACD (½ · 8 · 2) albo za zapisanie wzoru na pole trójkąta ABC z danymi (½ · 8 · h).
1Za zapisanie, że pole czworokąta jest sumą pól trójkątów ABC i ACD, ze wzorami na oba pola, np. 48 = ½ · 8 · 2 + ½ · 8 · h.
1Za poprawne obliczenia i wynik 10 cm.

Tu łatwo o błąd

Źle	Dlaczego źle	Dobrze
$P_{ACD} = 8 \cdot 2 = 16$	pominięta połowa we wzorze na pole trójkąta	$\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2 = 8$
$h = 40 : 8 = 5$	z pola trójkąta wysokość to $2P$ podzielone przez podstawę	$h = 2 \cdot 40 : 8 = 10$
wysokość zmierzona linijką na rysunku	rysunek nie zachowuje wymiarów	obliczenie z pola

Dasz radę sam?Oznacz „Umiem”, gdy potrafisz rozwiązać to zadanie samodzielnie.

Oznaczenia są zapisane tylko w tej przeglądarce.

Zaloguj się

Dalej · zadanie 19 z 19Jaka jest objętość jednego z pięciu jednakowych klocków, z których ułożono ramkę o znanych wymiarach zewnętrznych i wysokości 5 cm.Stereometria · 3 pkt

Następne zadanie

Zadanie 19

Sprawdź, czy pamiętasz wzory

Najpierw przypomnij sobie odpowiedź, a dopiero potem odwróć kartę.

No cards available in this deck.

Ćwicz w zestawie

Pola i obwodyOtwarte · 3 pkt

CKE · Arkusz · maj 2023 · zad. 18