Zadanie 11 — pola trójkątów w trójkącie prostokątnym

Czy pole trójkąta prostokątnego podzielonego odcinkiem ze środka przyprostokątnej jest równe 600 cm² i czy pole całego trójkąta jest dwa razy większe od pola jednej części.

Zadanie

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$ . Na środku boku $AB$ zaznaczono punkt $D$ . Następnie poprowadzono odcinek $DC$ , dzielący trójkąt $ABC$ na dwa trójkąty $ADC$ i $DBC$ . Ponadto $|AD| = |DB| = 30$ cm oraz $|DC| = 50$ cm (zobacz rysunek).

Rys. Trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy wierzchołku B. Odcinek DC dzieli go na trójkąty ADC i DBC; trójkąt DBC jest zaznaczony kolorem.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pole trójkąta $DBC$ jest równe $600 \text{ cm}^2$ .

Pole trójkąta $ABC$ jest dwa razy większe od pola trójkąta $ADC$ .

Najpierw spróbuj sam. Odpowiedź jest zakryta niżej.

Odpowiedź

Jak to ugryźć

W trójkącie prostokątnym $DBC$ znasz przyprostokątną $DB$ i przeciwprostokątną $DC$ . Brakującą przyprostokątną $BC$ obliczysz z twierdzenia Pitagorasa. Odcinek $BC$ jest też wysokością trójkątów $ADC$ i $ABC$ , więc porównujesz już tylko ich podstawy.

Krok po kroku

Rys. Trójkąt prostokątny ABC. Odcinek DC dzieli go na dwa trójkąty o tej samej wysokości BC. Długości w centymetrach.

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $DBC$ : $|BC|^2 = 50^2 - 30^2 = 2500 - 900 = 1600 \quad \Rightarrow \quad |BC| = 40 \text{ cm}$
Pole trójkąta $DBC$ : $P_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600 \text{ cm}^2$ Zdanie 1 jest prawdziwe.
Trójkąty $ADC$ i $ABC$ mają tę samą wysokość $BC = 40$ cm, a podstawę $AD = 30$ cm i $AB = 60$ cm: $P_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600, \qquad P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 40 = 1200$ $1200 = 2 \cdot 600$ , więc zdanie 2 jest prawdziwe.

Tu łatwo o błąd

Źle	Dlaczego źle	Dobrze
$\lvert BC\rvert = 50 - 30 = 20$	boków trójkąta nie odejmuje się — odejmuje się ich kwadraty	$\sqrt{2500 - 900} = 40$
$\lvert BC\rvert ^2 = 50^2 + 30^2$	$DC$ leży naprzeciwko kąta prostego, więc jest przeciwprostokątną	odejmujesz: $50^2 - 30^2$
$P_{DBC} = 30 \cdot 40 = 1200$	pominięta jedna druga we wzorze na pole trójkąta	$\frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600$

Dasz radę sam?Oznacz „Umiem”, gdy potrafisz rozwiązać to zadanie samodzielnie.

Oznaczenia są zapisane tylko w tej przeglądarce.

Zaloguj się

Dalej · zadanie 12 z 21Jakie współrzędne mają punkty na osi liczbowej, gdy znasz dwie liczby i wiesz, że odcinek podzielono na równe części.Oś liczbowa · 1 pkt

Następne zadanie

Zadanie 12

Sprawdź, czy pamiętasz wzory

Najpierw przypomnij sobie odpowiedź, a dopiero potem odwróć kartę.

No cards available in this deck.

Ćwicz w zestawie

TrójkątyZamknięte · 1 pkt

CKE · Arkusz · maj 2025 · zad. 11