Zadanie 18 — ile razy ostrosłup jest mniejszy od sześcianu

Ile razy objętość ostrosłupa wyciętego z sześcianu jest mniejsza od objętości sześcianu, gdy wszystkie długości zależą od krawędzi a.

Zadanie

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $a$ . Punkt $S$ jest środkiem krawędzi $DH$ tego sześcianu. Punkty $A$ , $C$ , $D$ , $S$ są wierzchołkami ostrosłupa trójkątnego (zobacz rysunek).

Rys. Sześcian ABCDEFGH. Punkt S leży w połowie krawędzi DH. Ostrosłup ACDS jest zaznaczony kolorem, niewidoczne krawędzie narysowano linią przerywaną.

Oblicz, ile razy objętość ostrosłupa $ACDS$ jest mniejsza od objętości sześcianu $ABCDEFGH$ . Zapisz obliczenia.

Jak to ugryźć

Wybierz trójkąt $ACD$ jako podstawę ostrosłupa. Leży on w dolnej ścianie sześcianu, a krawędź $DS$ jest do niej prostopadła — to wysokość. Wtedy i podstawa, i wysokość są prostymi ułamkami podstawy i wysokości sześcianu.

Krok po kroku

Rys. Sześcian ABCDEFGH o krawędzi a. Ostrosłup ACDS ma podstawę ACD w dolnej ścianie i wysokość DS równą połowie krawędzi.

Objętość sześcianu: $V_s = a^3$ .
Podstawa ostrosłupa to połowa kwadratu $ABCD$ : $P_{ACD} = \frac{1}{2}a^2$
Wysokość to połowa krawędzi: $|DS| = \frac{1}{2}a$ .
Objętość ostrosłupa: $V_o = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{1}{2}a = \frac{1}{12}a^3$
$V_s : V_o = a^3 : \frac{1}{12}a^3 = 12$ .

Odpowiedź: Objętość ostrosłupa $ACDS$ jest $12$ razy mniejsza od objętości sześcianu.

Jak to zapisać na egzaminie

Licz na literze $a$ , nie na konkretnej liczbie. Rozwiązanie wykonane tylko dla wybranej długości krawędzi, na przykład $a = 2$ , daje $0$ punktów. Pierwszy punkt jest za zapisanie objętości ostrosłupa przez $a$ , więc napisz wprost, co jest podstawą, a co wysokością ostrosłupa.

Za co są punkty · 2

1Za zapisanie objętości ostrosłupa ACDS w zależności od krawędzi a (np. jedna trzecia razy połowa a² razy połowa a) albo obu wzorów z zależnościami między podstawami i wysokościami.
1Za poprawne obliczenia i wniosek: objętość ostrosłupa jest 12 razy mniejsza.

Tu łatwo o błąd

Źle	Dlaczego źle	Dobrze
$V_o = \frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{1}{2}a$	pominięta jedna trzecia we wzorze na objętość ostrosłupa	$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{1}{2}a$
wysokość $= a$	wzięta cała krawędź $DH$ , a $S$ jest w jej połowie	$\lvert DS\rvert = \frac{1}{2}a$
obliczenia tylko dla $a = 2$	przykład nie jest uzasadnieniem dla każdego sześcianu	licz na literze $a$

Dasz radę sam?Oznacz „Umiem”, gdy potrafisz rozwiązać to zadanie samodzielnie.

Oznaczenia są zapisane tylko w tej przeglądarce.

Zaloguj się

Dalej · zadanie 19 z 20Ile kosztują nasiona na obsianie ogródka w kształcie trapezu, gdy opakowania można kupić tylko w całości.Pola i obwody · 3 pkt

Następne zadanie

Zadanie 19

Sprawdź, czy pamiętasz wzory

Najpierw przypomnij sobie odpowiedź, a dopiero potem odwróć kartę.

No cards available in this deck.

Ćwicz w zestawie

StereometriaOtwarte · 2 pkt

CKE · Arkusz · maj 2026 · zad. 18