Pole powierzchni ostrosłupa czworokątnego — z wysokością ściany bocznej

Zadanie

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $a = 10$ cm i wysokość $H = 12$ cm.

a) Oblicz objętość ostrosłupa.

b) Oblicz pole powierzchni całkowitej.

Dane

Wzory

Objętość ostrosłupa:

$V = \dfrac{1}{3} P_p \cdot H$

Wysokość ściany bocznej z twierdzenia Pitagorasa:

$h_b = \sqrt{H^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2}$

Pole powierzchni całkowitej:

$P_c = P_p + P_b = a^2 + 4 \cdot \dfrac{1}{2} a h_b$

Tok rozwiązania

1. Pole podstawy — podstawą jest kwadrat: $P_p = 10^2 = 100\ \text{cm}^2$
2. a) Objętość — z wysokością bryły: $V = \dfrac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = 400\ \text{cm}^3$
3. Wysokość ściany bocznej. Do trójkąta prostokątnego wchodzi połowa krawędzi podstawy, czyli $5$: $h_b = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\ \text{cm}$
4. Pole powierzchni bocznej — cztery jednakowe trójkąty: $P_b = 4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 13 = 260\ \text{cm}^2$
5. b) Pole powierzchni całkowitej: $P_c = 100 + 260 = 360\ \text{cm}^2$

Wynik

a) Objętość wynosi $400$ cm³.

b) Pole powierzchni całkowitej wynosi $360$ cm².

Sprawdzenie sensowności: $h_b = 13$ cm jest dłuższe od $H = 12$ cm, bo w tym samym trójkącie prostokątnym $h_b$ jest przeciwprostokątną. Gdyby wyszło odwrotnie, byłby to sygnał zamienionych odcinków.

Typowy błąd

Do objętości bierzesz wysokość bryły, do pola powierzchni bocznej — wysokość ściany. To dwa różne odcinki, a zadanie zwykle podaje tylko jeden z nich.

Źle: $P_b = 4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 240$ cm² (użyta wysokość bryły zamiast wysokości ściany).

Źle: $h_b = \sqrt{12^2 + 10^2} = \sqrt{244}$ (wstawione całe $a$ zamiast połowy).

Źle: $V = 100 \cdot 12 = 1200$ cm³ (pominięta jedna trzecia).

Dobrze: $V = \dfrac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = 400$ cm³ oraz $P_c = 100 + 4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 13 = 360$ cm².