Zadanie 17 — pole trapezu z twierdzenia Pitagorasa i trójkąta równoramiennego

Jak obliczyć pole trapezu ABCE wyciętego z prostokąta, gdy znasz boki trójkąta AED i wiesz, że dwa kąty trójkąta ACE są równe.

Zadanie

Prostokąt $ABCD$ podzielono na trzy trójkąty: $AED$ , $ACE$ , $ABC$ (zobacz rysunek). Na rysunku podano również długości dwóch boków trójkąta $AED$ oraz zaznaczono dwa kąty trójkąta $ACE$ , o takiej samej mierze $\alpha$ .

Rys. Prostokąt ABCD. Punkt E leży na boku DC, DE = 15 cm, AD = 20 cm. Kąty EAC i ECA mają tę samą miarę alfa.

Oblicz pole trapezu $ABCE$ . Zapisz obliczenia.

Jak to ugryźć

Do wzoru na pole trapezu potrzebujesz obu podstaw ( $EC$ i $AB$ ) i wysokości. Wysokość to bok prostokąta: $20$ cm. Brakuje długości $EC$ — i tu przydają się równe kąty. Trójkąt, który ma dwa równe kąty, jest równoramienny, więc $|EC| = |AE|$ . Długość $AE$ obliczysz z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $AED$ .

Krok po kroku

Trójkąt $AED$ jest prostokątny (kąt przy $D$ jest kątem prostokąta). Z twierdzenia Pitagorasa: $|AE|^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 \quad \Rightarrow \quad |AE| = 25 \text{ cm}$
W trójkącie $ACE$ kąty przy $A$ i $C$ są równe, więc jest to trójkąt równoramienny: $|EC| = |AE| = 25 \text{ cm}$
Dłuższa podstawa trapezu to bok prostokąta: $|AB| = |DC| = 15 + 25 = 40 \text{ cm}$
Pole trapezu (wysokość $20$ cm): $P = \frac{(25 + 40) \cdot 20}{2} = \frac{65 \cdot 20}{2} = 650 \text{ cm}^2$

Odpowiedź: Pole trapezu $ABCE$ jest równe $650 \text{ cm}^2$ .

Inny sposób. Pole trapezu to pole prostokąta bez trójkąta $AED$ : $40 \cdot 20 - \frac{15 \cdot 20}{2} = 800 - 150 = 650 \text{ cm}^2$

Jak to zapisać na egzaminie

Każdy krok musi mieć uzasadnienie. Zapisz twierdzenie Pitagorasa z liczbami i napisz słowami, dlaczego $|EC| = |AE|$ — bo trójkąt $ACE$ ma dwa równe kąty, więc jest równoramienny. Wynik podaj z jednostką: $650 \text{ cm}^2$ . Brak jednostki albo zła jednostka kosztuje punkt. Jeśli bez obliczenia $AE$ przyjmiesz, że podstawy mają $40$ i $25$ cm, dostaniesz tylko $1$ punkt.

Za co są punkty · 3

1Za jeden poprawny krok, np. zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do AE (AE² = 15² + 20²), zauważenie, że AE = EC, albo zapisanie wzoru na pole trapezu z uwzględnieniem, że AB = EC + 15.
1Za obliczenie AE = 25 cm, wskazanie AE = EC i poprawny sposób obliczenia AB (np. AB = 15 + EC).
1Za poprawne obliczenia i wynik 650 cm².

Tu łatwo o błąd

Źle	Dlaczego źle	Dobrze
$\lvert AE\rvert ^2 = 20^2 - 15^2$	$AE$ to przeciwprostokątna, więc kwadraty się dodaje	$15^2 + 20^2 = 625$
$\lvert EC\rvert = 15$ cm	$15$ cm to odcinek $DE$ , a nie $EC$	$\lvert EC\rvert = \lvert AE\rvert = 25$ cm
$P = (25 + 40) \cdot 20$	pominięta połowa we wzorze na pole trapezu	$\frac{(25 + 40) \cdot 20}{2}$
wynik $650$ cm	pole mierzymy w centymetrach kwadratowych	$650 \text{ cm}^2$

Dasz radę sam?Oznacz „Umiem”, gdy potrafisz rozwiązać to zadanie samodzielnie.

Oznaczenia są zapisane tylko w tej przeglądarce.

Zaloguj się

Dalej · zadanie 18 z 19Ile pieniędzy pan Jan dostał za 120 kg truskawek sprzedanych w dużych, średnich i małych opakowaniach w różnych cenach.Procenty · 3 pkt

Następne zadanie

Zadanie 18

Sprawdź, czy pamiętasz wzory

Najpierw przypomnij sobie odpowiedź, a dopiero potem odwróć kartę.

No cards available in this deck.

Ćwicz w zestawie

Pola i obwodyOtwarte · 3 pkt

CKE · Arkusz · maj 2024 · zad. 17