Zadanie 20 — pole czworokąta wyciętego z kwadratu

Jak obliczyć pole czworokąta wyciętego z kwadratu, gdy boki kwadratu podzielono na równe części.

Zadanie

Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $15$ cm. Każdy z boków $AB$ i $CD$ podzielono na trzy równe części, a każdy z boków $AD$ i $BC$ podzielono na pięć równych części. Na boku $BC$ zaznaczono punkt $E$ , na boku $CD$ zaznaczono punkt $F$ , a ponadto poprowadzono odcinki $AE$ i $AF$ (zobacz rysunek).

Rys. Kwadrat ABCD z bokami podzielonymi kreskami: AB i CD na trzy części, AD i BC na pięć części. Punkt F leży na drugiej kresce boku CD licząc od D, punkt E — na drugiej kresce boku BC licząc od B. Czworokąt AECF jest zaznaczony kolorem.

Oblicz pole czworokąta $AECF$ . Zapisz obliczenia.

Jak to ugryźć

Czworokąt $AECF$ ma nietypowy kształt, więc nie licz jego pola wprost. Kwadrat bez czworokąta to dwa trójkąty prostokątne: $ABE$ i $ADF$ . Ich pola policzysz łatwo, a pole czworokąta to pole kwadratu minus te dwa trójkąty. Najpierw odczytaj z rysunku, na której kresce leżą punkty $E$ i $F$ .

Krok po kroku

Rys. Kwadrat ABCD o boku 15 cm. Punkt E leży dwie części nad B, punkt F — dwie części od D.

Długości części: $15 : 3 = 5$ cm na bokach $AB$ i $CD$ oraz $15 : 5 = 3$ cm na bokach $AD$ i $BC$ .
Z rysunku: $|BE| = 2 \cdot 3 = 6$ cm oraz $|DF| = 2 \cdot 5 = 10$ cm.
Pola: $P_{ABCD} = 15 \cdot 15 = 225 \text{ cm}^2$ $P_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 6 = 45 \text{ cm}^2, \qquad P_{ADF} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 10 = 75 \text{ cm}^2$
Pole czworokąta: $P_{AECF} = 225 - 45 - 75 = 105 \text{ cm}^2$

Odpowiedź: Pole czworokąta $AECF$ jest równe $105$ cm².

Drugi sposób — dwa trójkąty. Przekątna $AC$ dzieli czworokąt na trójkąty $AEC$ i $ACF$ . Ich podstawy to $|EC| = 9$ cm i $|CF| = 5$ cm, a wysokości — bok kwadratu: $\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 15 + \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 15 = 67{,}5 + 37{,}5 = 105$ cm².

Jak to zapisać na egzaminie

Zapisz, skąd bierzesz długości $6$ i $10$ — to one decydują o wyniku. Wynik podaj z jednostką: brak „cm²” albo zła jednostka liczy się jako błąd rachunkowy i odbiera $1$ punkt.

Za co są punkty · 3

1Za poprawny sposób obliczenia pola jednego z trójkątów ABE, ADF, AEC albo ACF (np. ½ · 15 · 6).
1Za poprawny sposób obliczenia pola czworokąta AECF, np. 15² − ½ · 15 · 6 − ½ · 15 · 10.
1Za poprawne obliczenia i wynik 105 cm².

Tu łatwo o błąd

Źle	Dlaczego źle	Dobrze
$\lvert BE\rvert = 9$ cm	punkt $E$ jest dwie części nad $B$ , a nie trzy	$\lvert BE\rvert = 6$ cm, $\lvert EC\rvert = 9$ cm
$P_{ABE} = 15 \cdot 6 = 90$	pominięta jedna druga we wzorze na pole trójkąta	$\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 6 = 45$
wynik $105$ bez jednostki	w tym zadaniu brak jednostki odbiera punkt	$105$ cm²

Dasz radę sam?Oznacz „Umiem”, gdy potrafisz rozwiązać to zadanie samodzielnie.

Oznaczenia są zapisane tylko w tej przeglądarce.

Zaloguj się

Dalej · zadanie 21 z 21Jaka jest suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, gdy znasz pole ściany bocznej i jej wysokość.Stereometria · 3 pkt

Następne zadanie

Zadanie 21

Sprawdź, czy pamiętasz wzory

Najpierw przypomnij sobie odpowiedź, a dopiero potem odwróć kartę.

No cards available in this deck.

Ćwicz w zestawie

Pola i obwodyOtwarte · 3 pkt

CKE · Arkusz · maj 2025 · zad. 20