Objętość i pole powierzchni graniastosłupa o podstawie trójkąta prostokątnego

Zadanie

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $6$ cm i $8$ cm. Wysokość graniastosłupa wynosi $10$ cm.

a) Oblicz objętość tego graniastosłupa.

b) Oblicz pole powierzchni całkowitej.

Dane

Wzory

Objętość graniastosłupa:

$V = P_p \cdot H$

Pole powierzchni całkowitej:

$P_c = 2 P_p + P_b$

Pole powierzchni bocznej to obwód podstawy razy wysokość:

$P_b = Ob_p \cdot H$

Tok rozwiązania

1. Pole podstawy — trójkąt prostokątny, więc przyprostokątne są podstawą i wysokością: $P_p = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\ \text{cm}^2$
2. a) Objętość: $V = 24 \cdot 10 = 240\ \text{cm}^3$
3. Trzeci bok podstawy z twierdzenia Pitagorasa: $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\ \text{cm}$
4. Obwód podstawy: $Ob_p = 6 + 8 + 10 = 24\ \text{cm}$
5. Pole powierzchni bocznej: $P_b = 24 \cdot 10 = 240\ \text{cm}^2$
6. b) Pole powierzchni całkowitej: $P_c = 2 \cdot 24 + 240 = 288\ \text{cm}^2$

Wynik

a) Objętość wynosi $240$ cm³.

b) Pole powierzchni całkowitej wynosi $288$ cm².

Liczba $240$ pojawia się w rozwiązaniu dwa razy: raz jako objętość w centymetrach sześciennych, raz jako pole boczne w centymetrach kwadratowych. To przypadek — jednostki pokazują, że to dwie różne wielkości.

Typowy błąd

Ściany boczne graniastosłupa opierają się na wszystkich bokach podstawy, także na przeciwprostokątnej. Trzeci bok trzeba policzyć, zanim policzysz obwód.

Źle: $P_b = (6 + 8) \cdot 10 = 140$ cm² (pominięta trzecia ściana, ta oparta na przeciwprostokątnej).

Źle: $P_c = 24 + 240 = 264$ cm² (policzona jedna podstawa zamiast dwóch).

Źle: $V = \dfrac{1}{3} \cdot 24 \cdot 10 = 80$ cm³ (jedna trzecia należy do ostrosłupa, nie do graniastosłupa).

Dobrze: $V = 240$ cm³ oraz $P_c = 2 \cdot 24 + 24 \cdot 10 = 288$ cm².