Zadanie 16 z 21Arkusz czerwiec 2020
KątyOtwarte · 2 pkt
CKE · 2020

Zadanie 16 — uzasadnienie, że trójkąt jest prostokątny

Dlaczego trójkąt jest prostokątny, gdy jeden jego kąt jest równy różnicy dwóch pozostałych.

01

Zadanie

W trójkącie o kątach wewnętrznych α\alpha, β\beta, γ\gamma miara kąta α\alpha jest równa różnicy miar dwóch pozostałych kątów. Uzasadnij, że ten trójkąt jest prostokątny.

02

Jak to ugryźć

Masz dwie informacje: suma kątów trójkąta to 180∘180^\circ oraz α=β−γ\alpha = \beta - \gamma. Wstaw drugą do pierwszej. Kąt γ\gamma się skróci i zostanie równanie z jednym kątem. Uzasadnienie musi działać dla każdego takiego trójkąta, więc nie podstawiaj przykładowych liczb.

03

Krok po kroku

  1. Załóż, że β\beta jest większy z pozostałych kątów, czyli α=β−γ\alpha = \beta - \gamma.
  2. Suma kątów trójkąta: α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ
  3. Wstaw α\alpha: (β−γ)+β+γ=180∘(\beta - \gamma) + \beta + \gamma = 180^\circ 2β=180∘2\beta = 180^\circ β=90∘\beta = 90^\circ
  4. Jeden z kątów ma 90∘90^\circ, więc trójkąt jest prostokątny.

Gdyby większy był kąt γ\gamma (α=γ−β\alpha = \gamma - \beta), tak samo wyjdzie γ=90∘\gamma = 90^\circ.

Odpowiedź: Kąt β\beta (albo γ\gamma) ma 90∘90^\circ, więc trójkąt jest prostokątny.

04

Jak to zapisać na egzaminie

Zapisz oba warunki: α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ i α=β−γ\alpha = \beta - \gamma. Pokaż podstawienie i wynik β=90∘\beta = 90^\circ, a na końcu zdanie: „Ten trójkąt jest prostokątny”. Za zapisanie obu warunków jest 11 punkt. Sprawdzenie na konkretnych liczbach, np. 30∘30^\circ, 90∘90^\circ, 60∘60^\circ, daje 00 punktów, bo to przykład, a nie uzasadnienie.

05

Za co są punkty · 2

  • 1Za zapisanie obu warunków: α + β + γ = 180° oraz α = β − γ (albo α = γ − β), albo za równanie z dwiema niewiadomymi, które łączy oba warunki.
  • 1Za wykazanie, że jeden z kątów (β albo γ) ma 90°, czyli że trójkąt jest prostokątny. Uzasadnienie na konkretnych miarach kątów daje 0 punktów.
06

Tu łatwo o błąd

ŹleDlaczego źleDobrze
przykład 30∘+90∘+60∘30^\circ + 90^\circ + 60^\circjeden przykład nie uzasadnia, że tak jest zawszeobliczenie na literach
α=β−γ\alpha = \beta - \gamma bez sumy kątówz jednego warunku nie da się nic obliczyćdopisz α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ
wynik β=90∘\beta = 90^\circ bez wnioskutrzeba odpowiedzieć na polecenie„trójkąt jest prostokątny”
Źródło: Arkusz i zasady oceniania — egzamin ósmoklasisty z matematyki, termin główny czerwiec 2020 (CKE).
Dalej · zadanie 17 z 21Jakie są wszystkie możliwości wyboru miejsc w przedziale, gdy Edyta chce siedzieć przy oknie, a Agnieszka przodem do kierunku jazdy.Statystyka i prawdopodobieństwo · 2 pkt
Następne zadanie

Sprawdź, czy pamiętasz wzory

Najpierw przypomnij sobie odpowiedź, a dopiero potem odwróć kartę.

No cards available in this deck.

Ćwicz w zestawie