Jak zapisać twierdzenie Pitagorasa

Kiedy tego użyć

Gdy w zadaniu jest trójkąt prostokątny, znasz długości dwóch jego boków i szukasz trzeciego. Twierdzenie Pitagorasa działa tylko w trójkącie prostokątnym — w innym trójkącie ten wzór daje zły wynik.

Jak nazywają się boki

Twierdzenie Pitagorasa zapisujesz tak:

$a^2 + b^2 = c^2$

Po lewej stronie zawsze stoją dwie przyprostokątne, po prawej sama przeciwprostokątna. Kolejność $a$ i $b$ nie ma znaczenia, bo $a^2 + b^2$ to to samo co $b^2 + a^2$.

Jak rozpoznać przeciwprostokątną

1. Znajdź kąt prosty. Na rysunku oznacza go mały kwadracik.
2. Popatrz na bok naprzeciwko. To jest przeciwprostokątna $c$.
3. Dwa pozostałe boki to $a$ i $b$. Nieważne, który nazwiesz $a$, a który $b$.

Nie sugeruj się położeniem rysunku. Przeciwprostokątna nie musi być bokiem dolnym ani ukośnym — rozstrzyga tylko kąt prosty.

Kroki

1. Sprawdź, czy trójkąt jest prostokątny. Jeśli nie ma kąta prostego, twierdzenia nie wolno użyć.
2. Nazwij boki. Przeciwprostokątna to $c$, pozostałe to $a$ i $b$.
3. Zapisz wzór: $a^2 + b^2 = c^2$.
4. Jeśli szukasz przyprostokątnej, przekształć wzór: $a^2 = c^2 - b^2$.
5. Wstaw liczby i policz kwadraty, dopiero potem dodawaj albo odejmuj.
6. Wyciągnij pierwiastek, żeby z $c^2$ dostać $c$.
7. Sprawdź sensowność. Przeciwprostokątna musi być dłuższa od każdej przyprostokątnej i krótsza niż ich suma.

Przykład 1 — szukasz przeciwprostokątnej

Przyprostokątne mają $6$ cm i $8$ cm. Ile ma przeciwprostokątna?

$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$c = \sqrt{100} = 10\ \text{cm}$

Sprawdzenie: $10 > 8$ i $10 < 6 + 8$, więc wynik jest sensowny.

Przykład 2 — szukasz przyprostokątnej

Drabina o długości $13$ m stoi oparta o ścianę, a jej dół jest odsunięty od ściany o $5$ m. Na jakiej wysokości dotyka ściany?

Drabina jest tu przeciwprostokątną, bo leży naprzeciwko kąta prostego między ścianą a podłogą.

$b^2 = c^2 - a^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$b = \sqrt{144} = 12\ \text{m}$

Zwróć uwagę: tutaj odejmujesz, bo szukasz boku krótszego od drabiny. To miejsce, w którym najłatwiej się pomylić.

Dlaczego to działa

$a^2$ nie oznacza „$a$ razy $2$”, tylko pole kwadratu o boku $a$. Twierdzenie Pitagorasa mówi, że dwa kwadraty zbudowane na przyprostokątnych mają razem dokładnie tyle samo pola, co kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej.

Trójki, które warto znać na pamięć

Każda wielokrotność takiej trójki też pasuje: z $3, 4, 5$ robi się $6, 8, 10$ (przykład 1), $9, 12, 15$ czy $30, 40, 50$. Te liczby wracają w zadaniach, bo pierwiastek wychodzi z nich okrągły.

Odwrotne pytanie: czy ten trójkąt jest prostokątny

Twierdzenie działa też w drugą stronę. Weź najdłuższy bok jako $c$ i sprawdź, czy $a^2 + b^2 = c^2$.

Trójkąt o bokach $9$, $12$, $15$: $81 + 144 = 225$ oraz $15^2 = 225$. Równość zachodzi, więc trójkąt jest prostokątny.

Trójkąt o bokach $4$, $5$, $6$: $16 + 25 = 41$, a $6^2 = 36$. Równość nie zachodzi, więc trójkąt nie jest prostokątny.

Typowe błędy

Dalej

• Twierdzenie Pitagorasa — wzór — sam wzór, oznaczenia i warunki.
• Którą wysokość podaje zadanie — Pitagoras w ostrosłupie.
• Czy patyk zmieści się w pudełku — zadanie otwarte, w którym twierdzenie trzeba użyć dwa razy.
• Objętość i pole powierzchni graniastosłupa — trójka $6, 8, 10$ w zadaniu o bryle.