Którą wysokość podaje zadanie — trzy odcinki w ostrosłupie

Kiedy tego użyć

Gdy w zadaniu o ostrosłupie pada słowo „wysokość”, a Ty nie wiesz, o który odcinek chodzi. Od tego zależy, czy policzysz objętość, czy pole powierzchni — i czy wynik będzie poprawny.

Trzy odcinki

Kroki

1. Przeczytaj, gdzie kończy się odcinek. „Wysokość ostrosłupa” to zawsze odcinek do środka podstawy. „Wysokość ściany bocznej”, „apotema” albo „wysokość trójkąta bocznego” to odcinek do środka krawędzi.
2. Sprawdź, czego wymaga wzór. Objętość potrzebuje $H$. Pole powierzchni bocznej potrzebuje $h_b$.
3. Jeśli masz nie ten odcinek, przelicz go. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym odcinki $H$, $h_b$ i połowa krawędzi podstawy tworzą trójkąt prostokątny: $h_b = \sqrt{H^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} \qquad H = \sqrt{h_b^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2}$
4. Sprawdź sensowność. Zawsze $h_b > H$ oraz krawędź boczna $>$ $h_b$. Jeśli wyszło inaczej, gdzieś zamieniłeś odcinki.

Przykład w obie strony

Ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy $a = 10$ cm.

Dane: $H = 12$ cm. Szukasz $h_b$.

$h_b = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\ \text{cm}$

Dane: $h_b = 13$ cm. Szukasz $H$.

$H = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\ \text{cm}$

Zwróć uwagę na połowę krawędzi: do trójkąta wchodzi $\dfrac{a}{2} = 5$, a nie $a = 10$.

Typowy błąd

Sprawdzaj, gdzie odcinek kończy się w podstawie. Wysokość bryły trafia w środek podstawy, wysokość ściany w środek krawędzi, krawędź boczna w róg.

Źle: $h_b = \sqrt{12^2 + 10^2} = \sqrt{244}$ (do trójkąta wstawione całe $a$ zamiast połowy).

Źle: $P_b = 2 \cdot 10 \cdot 12 = 240$ cm² (użyta wysokość bryły zamiast $h_b$; poprawnie $2 \cdot 10 \cdot 13 = 260$ cm²).

Źle: $h_b < H$ w wyniku — to niemożliwe, bo $h_b$ jest przeciwprostokątną w tym samym trójkącie.

Dobrze: $h_b = 13$ cm do pola, $H = 12$ cm do objętości.

Dalej

• Objętość a pole powierzchni — dwa pytania i dwie jednostki.
• Pole powierzchni ostrosłupa czworokątnego — pełne zadanie z tymi liczbami.
• Jak z siatki bryły policzyć pole powierzchni — przepis na każdą bryłę.