Objętość a pole powierzchni — i skąd bierze się jedna trzecia w ostrosłupie

Dwa różne pytania

Zadania o bryłach pytają o jedną z dwóch rzeczy. Zanim sięgniesz po wzór, rozstrzygnij, o którą.

Jednostka jest najszybszym sprawdzianem. Jeśli w odpowiedzi wychodzą centymetry sześcienne, a zadanie pytało o farbę — coś poszło nie tak.

Objętość: pole podstawy razy wysokość

Objętość graniastosłupa liczysz tak, jakbyś układał na sobie kolejne warstwy podstawy:

$V = P_p \cdot H$

Podstawa to nie zawsze dół. W graniastosłupie podstawy to dwie jednakowe, równoległe ściany. Leżący graniastosłup ma podstawy z boku, a wysokość mierzy się między nimi.

Ostrosłup: ta sama podstawa, ale jedna trzecia

$V = \dfrac{1}{3} \cdot P_p \cdot H$

Skąd ta jedna trzecia? Weź graniastosłup i ostrosłup o tej samej podstawie i tej samej wysokości. Okazuje się, że graniastosłup mieści dokładnie trzy takie ostrosłupy. Najłatwiej to zobaczyć na sześcianie: da się go rozciąć na trzy jednakowe ostrosłupy, których wierzchołki spotykają się w jednym rogu, a podstawami są trzy ściany sześcianu.

Dlatego jedna trzecia dotyczy tylko ostrosłupa. Przy graniastosłupie jej nie ma, a wpisanie jej to jeden z najczęstszych błędów w zadaniach o bryłach.

Pole powierzchni: policz ściany

Pole powierzchni to suma pól wszystkich ścian. Nie ma tu jednego magicznego wzoru — jest przepis:

$P_c = 2 P_p + P_b$

dla graniastosłupa (dwie podstawy plus ściany boczne) oraz

$P_c = P_p + P_b$

dla ostrosłupa (jedna podstawa plus ściany boczne).

Rozłożona bryła tłumaczy wzór sama: widać jedną podstawę i cztery jednakowe trójkąty, więc

$P_c = a^2 + 4 \cdot \dfrac{1}{2} a h_b = a^2 + 2 a h_b$

Wysokość bryły to nie wysokość ściany

W ostrosłupie są trzy różne odcinki, które uczniowie nazywają „wysokością”. To jest główne źródło błędów w tym dziale.

Te trzy odcinki mają różne długości i łączy je twierdzenie Pitagorasa:

$h_b = \sqrt{H^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2}$

Typowe błędy

Jedna trzecia należy do ostrosłupa, nie do graniastosłupa. Do objętości bierzesz wysokość bryły, do pola powierzchni bocznej — wysokość ściany.

Źle: $V = \dfrac{1}{3} P_p H$ dla graniastosłupa (jedna trzecia dopisana tam, gdzie jej nie ma).

Źle: $P_b = 2 a H$ w ostrosłupie o $a = 10$ i $H = 12$, czyli $240$ zamiast $260$ (użyta wysokość bryły zamiast wysokości ściany $h_b = 13$).

Źle: odpowiedź „$288$ cm³” na pytanie o pole powierzchni (dobra liczba, zła jednostka — to sygnał, że policzono co innego).

Dobrze: najpierw rozstrzygnij, czy pytają o wnętrze, czy o powierzchnię; potem dobierz wysokość do wzoru.

Przećwicz na przykładach

• Jak z siatki bryły policzyć pole powierzchni — przepis krok po kroku.
• Objętość graniastosłupa o podstawie trójkąta prostokątnego — pełne obliczenia.
• Pole powierzchni ostrosłupa czworokątnego — z wysokością ściany bocznej.
• Litry i centymetry sześcienne — zamiana jednostek objętości.
• Czy patyk zmieści się w pudełku — zadanie otwarte z przekątną prostopadłościanu.