Instrukcja

Jak z siatki bryły policzyć pole powierzchni

Do weryfikacji

Jak policzyć pole powierzchni bryły: rozkładasz ją na płaskie ściany i dodajesz ich pola.

Kiedy tego użyć

Gdy zadanie pyta o pole powierzchni bryły: ile papieru na oklejenie pudełka, ile blachy na pojemnik, ile farby na pomalowanie. Siatka zamienia bryłę w zestaw płaskich figur, a pola figur płaskich już umiesz liczyć.

Kroki

Rozłóż bryłę na płasko. Nie musisz rysować ładnie. Wystarczy lista ścian: ile ich jest i jaki mają kształt.
Pogrupuj jednakowe ściany. W prostopadłościanie ściany są parami, w ostrosłupie prawidłowym wszystkie ściany boczne są takie same.
Policz pole jednej ściany z każdej grupy. Tu wracają wzory na pola figur płaskich: prostokąt, trójkąt, trapez.
Pomnóż przez liczbę ścian w grupie i dodaj grupy do siebie.
Sprawdź jednostkę. Pole zawsze wychodzi w jednostkach kwadratowych.

Rys. Siatka prostopadłościanu: sześć prostokątów w trzech parach. Dwa o polu a razy b, dwa o polu a razy c i dwa o polu b razy c.

Stąd wzór, którego nie trzeba pamiętać osobno — wystarczy przeczytać go z siatki:

$P_c = 2(ab + ac + bc)$

Przykład: prostopadłościan

Pudełko ma wymiary $8 \times 5 \times 3$ cm.

Grupa ścian	Pole jednej	Liczba	Razem
góra i dół	$8 \cdot 5 = 40$	$2$	$80$
przód i tył	$8 \cdot 3 = 24$	$2$	$48$
boki	$5 \cdot 3 = 15$	$2$	$30$

$P_c = 80 + 48 + 30 = 158\ \text{cm}^2$

Przykład: ostrosłup prawidłowy czworokątny

Rys. Siatka ostrosłupa: kwadrat i cztery jednakowe trójkąty. Wysokość każdego trójkąta to h z indeksem b, a jego podstawa to krawędź a.

Dwie grupy: jeden kwadrat i cztery trójkąty.

$P_c = a^2 + 4 \cdot \dfrac{1}{2} a h_b$

Dla $a = 6$ cm i $h_b = 5$ cm:

$P_c = 36 + 4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 36 + 60 = 96\ \text{cm}^2$

Typowy błąd

Licz ściany na siatce, nie z głowy. Najczęstsza strata punktów to zgubiona ściana albo policzenie podstawy dwa razy w ostrosłupie, który ma ją tylko jedną.

Źle: $P_c = 2 \cdot 36 + 60 = 132$ cm² dla ostrosłupa (podstawa policzona dwa razy, jak w graniastosłupie).

Źle: $P_c = 40 + 24 + 15 = 79$ cm² dla pudełka (policzone po jednej ścianie z każdej pary zamiast po dwie).

Źle: wstawienie do trójkąta wysokości bryły zamiast wysokości ściany bocznej.

Dobrze: wypisz grupy ścian, policz jedną z każdej, pomnóż przez liczbę ścian, dodaj.

Dalej

Objętość a pole powierzchni — czym się różnią i skąd jedna trzecia w ostrosłupie.
Którą wysokość podaje zadanie — trzy odcinki, które łatwo pomylić.
Pole powierzchni ostrosłupa czworokątnego — pełne zadanie z liczbami.

Sprawdź, czy pamiętasz wzory

Najpierw przypomnij sobie odpowiedź, a dopiero potem odwróć kartę.

No cards available in this deck.

Ćwicz w zestawie