Prawdopodobieństwo — „i” oraz „lub” przy losowaniu liczby

Zadanie

W urnie jest $20$ kul ponumerowanych liczbami od $1$ do $20$. Losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że na wylosowanej kuli jest liczba:

a) parzysta i podzielna przez $5$,

b) parzysta lub podzielna przez $5$.

Dane

Każdą kulę można wylosować z tą samą szansą. Prawdopodobieństwo to liczba kul „sprzyjających” podzielona przez liczbę wszystkich kul.

Wzory

Prawdopodobieństwo zdarzenia, gdy wszystkie wyniki są jednakowo możliwe:

$P = \dfrac{\text{liczba wyników sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich wyników}}$

Liczba elementów sumy zbiorów:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Tok rozwiązania

1. a) „I” to część wspólna. Liczby parzyste i jednocześnie podzielne przez $5$ to $10$ i $20$: $|A \cap B| = 2$
2. a) Prawdopodobieństwo: $P = \dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}$
3. b) „Lub” to suma zbiorów. Część wspólną odejmujesz raz: $|A \cup B| = 10 + 4 - 2 = 12$
4. b) Prawdopodobieństwo: $P = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$

Wynik

a) Prawdopodobieństwo wynosi $1/10$.

b) Prawdopodobieństwo wynosi $12/20 = 3/5$.

Sprawdzenie b) na diagramie: w kołach jest $8 + 2 + 2 = 12$ liczb, poza kołami $8$, razem $20$.

Typowy błąd

Przy „lub” nie dodawaj liczebności bez poprawki. Kule $10$ i $20$ są jednocześnie parzyste i podzielne przez $5$, więc w sumie $10 + 4$ liczysz je dwa razy.

Źle: w b) $P = (10 + 4)/20 = 14/20$ (kule $10$ i $20$ policzone dwa razy).

Źle: w a) $P = 4/20$ (to wszystkie liczby podzielne przez $5$ — pominięty warunek „parzysta”).

Dobrze: w a) $P = 2/20 = 1/10$, w b) $P = 12/20 = 3/5$.