Przykład

Liczby podzielne przez 2 lub przez 3 — suma zbiorów

Do weryfikacji

Jak policzyć, ile liczb od 1 do 30 jest podzielnych przez 2 lub przez 3, i dlaczego nie wystarczy dodać 15 i 10.

Zadanie

Ile jest liczb naturalnych od $1$ do $30$ , które są podzielne przez $2$ lub przez $3$ ?

Dane

Zbiór	Opis	Liczba elementów
$U$	liczby od $1$ do $30$	$30$
$A$	liczby podzielne przez $2$	$15$
$B$	liczby podzielne przez $3$	$10$

„Lub” oznacza sumę zbiorów: liczysz liczby podzielne przez $2$ , przez $3$ albo przez obie naraz.

Wzory

Liczba elementów sumy:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Część wspólna $A \cap B$ to liczby podzielne przez $2$ i przez $3$ , czyli przez $6$ .

Tok rozwiązania

Podzielne przez $2$ : $2, 4, 6, \ldots, 30$ . $|A| = 30 : 2 = 15$
Podzielne przez $3$ : $3, 6, 9, \ldots, 30$ . $|B| = 30 : 3 = 10$
Podzielne przez $2$ i przez $3$ , czyli przez $6$ : $6, 12, 18, 24, 30$ . $|A \cap B| = 30 : 6 = 5$
Suma zbiorów — część wspólną odejmujesz raz: $|A \cup B| = 15 + 10 - 5 = 20$

Rys. Liczby od 1 do 30 rozdzielone na diagramie: tylko podzielne przez 2 — 10 liczb, podzielne przez 6 (część wspólna) — 5, tylko podzielne przez 3 — 5, poza kołami — 10. Zamalowana suma $A \cup B$ ma 20 elementów.

Wynik

Od $1$ do $30$ jest $20$ liczb podzielnych przez $2$ lub przez $3$ .

Sprawdzenie od drugiej strony. Wypisz liczby, które nie dzielą się ani przez $2$ , ani przez $3$ :

$1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29$

Jest ich $10$ , a $30 - 10 = 20$ . Zgadza się.

Typowy błąd

Nie dodawaj liczebności bez odjęcia części wspólnej. Liczby $6, 12, 18, 24, 30$ są i w $A$ , i w $B$ — w samej sumie $15 + 10$ policzone są dwa razy.

Źle: $15 + 10 = 25$ (wielokrotności $6$ policzone dwa razy).

Źle: $5$ (to liczby podzielne przez $2$ i przez $3$ — część wspólna, a nie suma).

Dobrze: $15 + 10 - 5 = 20$ .