Wspólne dzielniki i NWD — część wspólna zbiorów

Zadanie

Ola ma $24$ jabłka i $36$ gruszek. Chce je rozłożyć do paczek tak, żeby w każdej paczce była taka sama liczba jabłek i taka sama liczba gruszek, a żaden owoc nie został. Ile najwięcej paczek może przygotować? Ile jabłek i ile gruszek będzie wtedy w jednej paczce?

Dane

Liczba paczek musi dzielić $24$ — inaczej jabłek nie da się rozłożyć po równo — i musi dzielić $36$. Szukasz więc liczby z części wspólnej dwóch zbiorów: dzielników $24$ i dzielników $36$.

Wzory

Zbiory dzielników oznaczamy literą $D$:

$D_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$

$D_{36} = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$

Wspólne dzielniki to iloczyn (część wspólna) tych zbiorów:

$D_{24} \cap D_{36}$

Największy element tej części wspólnej to największy wspólny dzielnik, czyli NWD.

Tok rozwiązania

1. Wypisz dzielniki $24$. Szukaj ich parami: $1 \cdot 24$, $2 \cdot 12$, $3 \cdot 8$, $4 \cdot 6$. $D_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$
2. Wypisz dzielniki $36$: $1 \cdot 36$, $2 \cdot 18$, $3 \cdot 12$, $4 \cdot 9$, $6 \cdot 6$. $D_{36} = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$
3. Wybierz liczby, które są w obu zbiorach: $D_{24} \cap D_{36} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$
4. Największa z nich to największa możliwa liczba paczek: $\text{NWD}(24, 36) = 12$
5. Zawartość jednej paczki: $24 : 12 = 2 \qquad 36 : 12 = 3$

Wynik

Ola może przygotować najwięcej $12$ paczek. W każdej będą $2$ jabłka i $3$ gruszki.

Każda liczba z części wspólnej — $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ albo $12$ — to możliwa liczba paczek. Słowo „najwięcej” wskazuje na największą z nich.

NWD szybciej znajdziesz rozkładem na czynniki pierwsze: $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$ i $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$. Wspólne czynniki to $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$. Wypisanie dzielników pokazuje, dlaczego to działa: NWD to największy element części wspólnej zbiorów dzielników.

Typowy błąd

Liczba paczek musi dzielić obie liczby owoców. Dzielnik tylko jednej z nich nie wystarczy, a wspólna wielokrotność to zupełnie inne pojęcie.

Źle: $8$ paczek ($8$ dzieli $24$, ale nie dzieli $36$, bo $36 : 8 = 4{,}5$).

Źle: $72$ paczki ($72 = \text{NWW}(24, 36)$ to najmniejsza wspólna wielokrotność — z $24$ jabłek nie da się zrobić $72$ równych paczek).

Dobrze: $12$ paczek — największy element zbioru $D_{24} \cap D_{36}$.