Działania na zbiorach — suma, część wspólna, różnica

W skrócie

Na egzaminie ósmoklasisty nie musisz zapisywać symboli $\cup$, $\cap$ ani $\setminus$ — podstawa programowa szkoły podstawowej ich nie wymaga. Wymaga za to tego, co się pod nimi kryje: umiesz wypisać obiekty, które spełniają oba warunki, co najmniej jeden z nich albo żaden — i je policzyć. Symbole to wygodny skrót, który przyda się w liceum.

Zbiór i element

Zbiór to kolekcja obiektów, które nazywamy jego elementami. Elementy wypisujesz w nawiasie klamrowym:

$A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

• $6 \in A$ — liczba $6$ należy do zbioru $A$,
• $7 \notin A$ — liczba $7$ nie należy do zbioru $A$.

Kolejność elementów nie ma znaczenia, a każdy element wpisujesz raz. Zbiór bez żadnego elementu to zbiór pusty: $\varnothing$.

Przykład, na którym pracujemy

Rozważamy liczby naturalne od $1$ do $10$. To są wszystkie rozważane elementy — oznaczamy je literą $U$.

Na diagramie Venna prostokąt to wszystkie rozważane elementy, a każdy zbiór to koło. Każdą liczbę wpisujesz dokładnie w jedno miejsce.

Suma zbiorów

Suma zbiorów $A$ i $B$ to zbiór elementów, które należą do $A$ lub do $B$ — czyli do co najmniej jednego z nich.

$A \cup B = \{x : x \in A \ \text{lub}\ x \in B\}$

W przykładzie:

$A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\}$

Liczba $6$ należy do obu zbiorów, ale w sumie zapisujesz ją raz.

„Lub” w matematyce obejmuje też przypadek „oba naraz”. Liczba $6$ jest parzysta i podzielna przez $3$, więc spełnia warunek „parzysta lub podzielna przez $3$”.

Iloczyn zbiorów (część wspólna)

Iloczyn zbiorów $A$ i $B$, nazywany też częścią wspólną, to zbiór elementów, które należą jednocześnie do $A$ i do $B$.

$A \cap B = \{x : x \in A \ \text{i}\ x \in B\}$

W przykładzie:

$A \cap B = \{6\}$

To liczby parzyste i podzielne przez $3$ jednocześnie — czyli podzielne przez $6$.

Iloczyn zbiorów to nie mnożenie liczb. Myśl o nim jak o części wspólnej — stąd ta druga nazwa.

Zbiory, które nie mają ani jednego wspólnego elementu, to zbiory rozłączne. Ich część wspólna jest zbiorem pustym. Przykład: liczby parzyste i liczby nieparzyste — żadna liczba nie jest jednocześnie parzysta i nieparzysta.

Z częścią wspólną spotkasz się przy NWD: wspólne dzielniki dwóch liczb to część wspólna zbiorów ich dzielników.

Różnica zbiorów

Różnica zbiorów $A$ i $B$ to zbiór elementów, które należą do $A$, ale nie należą do $B$.

$A \setminus B = \{x : x \in A \ \text{i}\ x \notin B\}$

W przykładzie:

$A \setminus B = \{2, 4, 8, 10\} \qquad B \setminus A = \{3, 9\}$

Kolejność ma znaczenie. $A \setminus B$ to liczby parzyste, które nie dzielą się przez $3$. $B \setminus A$ to liczby podzielne przez $3$, które nie są parzyste. To dwa różne zbiory.

W zadaniach tekstowych różnica kryje się zwykle pod słowem „tylko”: „ma tylko psa” znaczy „ma psa, ale nie ma kota”.

Dopełnienie zbioru

Dopełnienie zbioru $A$ to wszystkie rozważane elementy, które nie należą do $A$.

$A' = U \setminus A$

W przykładzie:

$A' = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

To liczby nieparzyste od $1$ do $10$. Dopełnienie zawsze zależy od tego, co jest „wszystkim”. Gdyby rozważać liczby od $1$ do $20$, liczb nieparzystych — czyli dopełnienie zbioru liczb parzystych — byłoby $10$, a nie $5$.

Ile elementów ma suma?

Żeby policzyć elementy sumy, nie wystarczy dodać liczebności obu zbiorów. Elementy z części wspólnej policzyłbyś wtedy dwa razy — raz w $A$, raz w $B$. Trzeba je raz odjąć:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Zapis $|A|$ oznacza liczbę elementów zbioru $A$.

W przykładzie $|A| = 5$, $|B| = 3$ i $|A \cap B| = 1$, więc:

$|A \cup B| = 5 + 3 - 1 = 7$

Zgadza się z wypisaniem: zbiór $A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\}$ ma $7$ elementów.

Jeśli zbiory są rozłączne, część wspólna jest pusta i wystarczy dodać: $|A \cup B| = |A| + |B|$.

Typowe błędy

Suma zbiorów to nie dodawanie liczebności, a przy różnicy liczy się kolejność. Każdy element wpisujesz raz — w jedno miejsce diagramu.

Źle: $|A \cup B| = 5 + 3 = 8$ (liczba $6$ policzona dwa razy).

Źle: $A \setminus B = \{3, 9\}$ (to jest $B \setminus A$ — zbiory zamienione miejscami).

Źle: $A \cap B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\}$ (to suma, a nie część wspólna — „i” pomylone z „lub”).

Dobrze: $A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\}$, $A \cap B = \{6\}$, $A \setminus B = \{2, 4, 8, 10\}$.

Przećwicz na przykładach

• Jak rozwiązać zadanie tekstowe diagramem Venna — przepis krok po kroku.
• Diagram Venna — ilu uczniów nie ma ani psa, ani kota — „tylko” i „żaden” w praktyce.
• Liczby podzielne przez 2 lub przez 3 — suma zbiorów bez podwójnego liczenia.
• Wspólne dzielniki i NWD — część wspólna zbiorów dzielników.
• Prawdopodobieństwo — „i” oraz „lub” przy losowaniu — działania na zbiorach w rachunku prawdopodobieństwa.