Przykład

Diagram Venna — ilu uczniów nie ma ani psa, ani kota

Do weryfikacji

Zadanie z diagramem Venna: ilu uczniów ma tylko psa, a ilu nie ma żadnego zwierzęcia.

Zadanie

W klasie jest $30$ uczniów. Psa ma $16$ uczniów, kota ma $11$ uczniów, a $5$ uczniów ma i psa, i kota.

a) Ilu uczniów ma tylko psa?

b) Ilu uczniów nie ma ani psa, ani kota?

Dane

Wielkość	Oznaczenie	Wartość
Wszyscy uczniowie	$\lvert U \rvert$	$30$
Uczniowie z psem	$\lvert P \rvert$	$16$
Uczniowie z kotem	$\lvert K \rvert$	$11$
Uczniowie z psem i z kotem	$\lvert P \cap K \rvert$	$5$

Liczba $16$ to wszyscy właściciele psów — także ci, którzy mają też kota. Tak samo $11$ obejmuje tych, którzy mają też psa.

Rys. Diagram Venna dla klasy: $P$ — uczniowie z psem, $K$ — uczniowie z kotem. W części wspólnej jest 5 uczniów z oboma zwierzętami, tylko psa ma 11, tylko kota 6, a 8 uczniów jest poza kołami.

Wzory

Tylko pies, czyli różnica zbiorów:

$|P \setminus K| = |P| - |P \cap K|$

Co najmniej jedno zwierzę, czyli suma zbiorów:

$|P \cup K| = |P| + |K| - |P \cap K|$

Żadnego zwierzęcia, czyli dopełnienie sumy:

$|U| - |P \cup K|$

Tok rozwiązania

Zacznij od środka diagramu — uczniowie z psem i z kotem: $|P \cap K| = 5$
Tylko pies: $|P \setminus K| = 16 - 5 = 11$
Tylko kot: $|K \setminus P| = 11 - 5 = 6$
Co najmniej jedno zwierzę — dodaj trzy obszary w kołach: $|P \cup K| = 11 + 5 + 6 = 22$ Ten sam wynik daje wzór: $16 + 11 - 5 = 22$ .
Ani psa, ani kota: $30 - 22 = 8$

Wynik

a) Tylko psa ma $11$ uczniów.

b) Ani psa, ani kota nie ma $8$ uczniów.

Sprawdzenie: $11 + 5 + 6 + 8 = 30$ — tyle, ilu uczniów liczy klasa.

Typowy błąd

Nie odejmuj od całej klasy obu liczebności bez poprawki. Uczniowie z psem i z kotem są wliczeni i w $16$ , i w $11$ — odjąłbyś ich dwa razy.

Źle: $30 - 16 - 11 = 3$ ( $5$ uczniów z oboma zwierzętami odjętych dwa razy).

Źle: tylko psa ma $16$ uczniów (to wszyscy właściciele psów, razem z tymi, którzy mają też kota).

Dobrze: $30 - (16 + 11 - 5) = 30 - 22 = 8$ .